Một thảo luận có giá trị về cơ sở cho việc đảo trật tự của phép lấy tích phân được tìm thấy trong cuốn sách Fourier Analysis của T.W. Körner.[12] Ông giới thiệu thảo luận của mình bằng một ví dụ mà việc hoán đổi phép lấy tích phân dẫn đến hai đáp án khác nhau, vì những điều kiện của Định lý II dưới đây không thỏa mãn. Đây là ví dụ:

∫ 1 ∞ x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2   d y = [ y x 2 + y 2 ] 1 ∞ = − 1 1 + x 2   [ x ≥ 1 ]   . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .} ∫ 1 ∞ ( ∫ 1 ∞ x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2   d y )   d x = − π 4   . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .} ∫ 1 ∞ ( ∫ 1 ∞ x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2   d x )   d y = π 4   . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}

Hai định lý cơ bản chi phối được chấp nhận về sự hoán đổi được trích dẫn dưới đây của Chaudhry và Zubair:[13]

Định lý quan trọng nhất về các ứng dụng được trích dẫn từ Protter và Morrey:[14]